Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.

Понятие функции нескольких переменных; ее область определения. Предел функции двух переменных в точке. Непрерывность функции двух переменных в точке. Примеры.

Ф-ю z=f(x,y) наз-ют ф-ей 2-ух переменных, x u y Наз-ют зависимыми перемен. Мн-во пар x и y при к!ых ф-ия имеет смысл образуе обл опред-я ф-ий 2-ух перемен. Ф-я z=f(x,y) наз-ся непрерывнойв точке с коорд. ( ), если предел ф!ии f(x,y) при x и y равен значению ф-ии в точке (Xo,Y0), т.е. .

Частное приращение функции двух переменных. Частная производная функции нескольких переменных по одной из этих переменных. Примеры.

Зависит от приращ. Независимых перемен. z=f(x,y,z) . Частная произв. по одной из этих перемен. Например по х обознач-ся как Z`x и определяется как =

Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Формула для приближенных вычислений. Геометрический смысл дифференциала.

Полным приращением ф-ии 2-х переменных наз-ся разность

Полным диф ф-ии z=f(x,y) наз-ся главная часть полного приращ , линейная относит. и . du= dx+ dy+ dz. Ф-ла для приближ вычисл. В конкр. Точке Мо: .

Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g¢(y0)=1/f(x0) или x¢y=1/y¢x.

Доказательство.

Пусть а=f¢(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение Dу= f(x0+Dх) - f(x0) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢(y0)= lim g(y+Dy)-g(y0) = lim Dx =lim ìDyü-1 = 1 .

Dy®0 Dy Dy®0 Dy Dy®0 îDxþ f¢(x0)

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f¢(x0)*g¢(t0) или y¢t=y¢x*x¢t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как Dy=f¢(x0)+a(Dx)*Dx. Где Dx®0 при Dt®0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t0. Так как а(Dx)®0 при Dx ®0 и при Dt®0. Поэтому

d f(g(t))|t=to=lim (f¢(x0)) Dx +a(Dx) Dx =

dt Dt®0 Dt Dt

=f¢(x0)g¢(t0)+0*g¢(t0)= f¢(x0)g¢(t0).

  • Аналитико-проектировочный этап.
  • КАРТИНА ПЕРВАЯ. Жан-Поль Сартр
  • ФЕРМЕНТАЦИЯ (СОЗРЕВАНИЕ) МЯСА
  • ДИНАМИЧЕСКАЯ ВЕРЕВКА
  • Глава восьмая. -Эм, что ж - учительница почесала затылок
  • Седьмая динамика. Дух
  • Причина внесения изменения
  • Стародубского повета села Горчакив
  • II. Цель занятия
  • Вернуть состояние помог урок горького опыта
  • ТАКТИКО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТЬЯ
  • Экономическое развитие города.
  • Зам. директора по УМР Басков С.Н.
  • Письмо первое 6 страница. Обо всем об этом домовладелица заботилась весьма назойливо
  • Восполнение кровопотери
  • Работа над сравнениями.
  • Структура. Организаторы
  • Статья 14. Совет Молодежного парламента.
  • Возможности денежной эмиссии
  • Now complete the following narrative, using the past simple or the past perfect of the verbs given.